图的失败零强迫数的一个下界

给定图 $G=(V,E)$ 和一组标记为已填充的顶点，我们考虑一种称为零强迫的颜色改变规则。若填充集合 $S$ 并应用所有可能情形的颜色改变规则能使 $V$ 中所有顶点都被填充，则称 $S$ 为零强迫集。失败零强迫集是指不是零强迫集的顶点集。给定图 $G$，失败零强迫数 $F(G)$ 是失败零强迫集的最大基数。一个公开问题是：对任意 $k$，是否存在 $\ell$ 使得所有至少有 $\ell$ 个顶点的图都满足 $F(G)\geq k$。我们肯定地回答了该问题，证明了对于具有 $n$ 个顶点的图 $G$，有 $F(G)\geq \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$。