图的 k-强制数的上界

给定一个简单无向图 $G$ 和一个正整数 $k$，$G$ 的 $k$-强制数（记为 $F_k(G)$）是指需要初始染色的最少顶点数，以便在以下规则描述的离散动力学过程中所有顶点最终都被染色。从一组初始染色顶点开始，直到所有顶点都被染色时停止：如果一个染色顶点至多有 $k$ 个未染色邻居，则其每个未染色邻居变为染色状态。当 $k=1$ 时，这等价于零强制数（通常记为 $Z(G)$），这是一个最近引入的不变量，给出了图的最大零度的上界。在本文中，我们给出了 $k$-强制数的几个上界。其中值得注意的是，我们证明了如果 $G$ 是一个阶数 $n \ge 2$ 且最大度 $\Delta \ge k$ 的图，则 $F_k(G) \le \frac{(\Delta-k+1)n}{\Delta - k + 1 +\min{\{\delta,k\}}}$。对于 $k=1$ 的零强制数情形，这简化为 $Z(G)=F_1(G) \le \frac{\Delta n}{\Delta+1}$。此外，当 $\Delta \ge 2$ 且图是 $k$-连通的，我们证明了 $F_k(G) \leq \frac{(\Delta-2)n+2}{\Delta+k-2}$，这在 $k\leq 2$ 时是一个改进，并且对于零强制数情形特化为 $Z(G)= F_1(G) \le \frac{(\Delta -2)n+2}{\Delta -1}$。这些结果解决了 Meyer 关于正则二分循环图提出的一个问题。最后，我们展示了 $k$-强制数与连通 $k$-支配数之间的关系。作为推论，我们发现对于连通图，零强制数与连通支配数之和至多为图的阶数。