图的零强迫数与强度量维数的比较

图 $G$ 的 \emph{零强迫数} $Z(G)$ 是黑色顶点集合 $S$（而 $V(G)-S$ 中的顶点被染为白色）的最小基数，使得经过有限次应用“颜色改变规则”后 $V(G)$ 全部变为黑色：若一个白色顶点是某个黑色顶点的唯一白色邻居，则该白色顶点被转换为黑色。图 $G$ 的 \emph{强度量维数} $sdim(G)$ 是所有强解决集基数的最小值：$W \subseteq V(G)$ 是 $G$ 的 \emph{强解决集}，如果对于任意 $u, v \in V(G)$，存在 $x \in W$ 使得 $u$ 位于 $x-v$ 测地线上或 $v$ 位于 $x-u$ 测地线上。在本文中，我们证明了对于连通图 $G$，$Z(G) \le sdim(G)+3r(G)$，其中 $r(G)$ 是 $G$ 的圈秩。进一步，我们证明了当 $G$ 为树或单圈图时的紧界 $Z(G) \leq sdim(G)$，并刻画了满足 $Z(T)=sdim(T)$ 的树 $T$。容易看出，对于树 $T$，$sdim(T+e)-sdim(T)$ 可以任意大；我们证明了 $sdim(T+e) \ge sdim(T)-2$ 并表明该界是紧的。