树与单圈图的度量维数与零强制数比较

图 $G$ 的\emph{度量维数} $\dim(G)$ 是指使得 $G$ 的每个顶点都能由其到所选顶点的距离向量唯一确定的最小顶点数。图 $G$ 的\emph{零强制数} $Z(G)$ 是指黑色顶点集 $S$ 的最小基数（其中 $V(G)\!\setminus\!S$ 中的顶点被染成白色），使得经过有限次应用“颜色改变规则”后 $V(G)$ 全部变为黑色：如果一个白色顶点是某个黑色顶点的唯一白色邻居，则该白色顶点被转换为黑色。我们证明了对于树 $T$ 有 $\dim(T) \leq Z(T)$，并且如果 $G$ 是单圈图则有 $\dim(G) \le Z(G)+1$；在此过程中，我们刻画了满足 $\dim(T)=Z(T)$ 的树 $T$。对于一般图 $G$，我们引入了“圈秩猜想”。最后，我们证明了对于 $e \in E(\overline{T})$，有 $\dim(T)-2 \leq \dim(T+e) \le \dim(T)+1$。