匹配、路径覆盖与全强制集

图$G$顶点的动态着色始于一个初始着色顶点子集$S$，其余顶点均未被着色。在每个离散时间间隔，一个恰有一个未着色邻点的着色顶点强制该未着色邻点被着色。若通过迭代施加强制过程可使$G$中每个顶点均被着色，则称初始集$S$为$G$的强制集。若初始集$S$还具有在$G$中诱导出的子图无孤立顶点的性质，则称$S$为$G$中的全强制集。$G$中全强制集的最小基数称为其全强制数，记为$F_t(G)$。$G$的路径覆盖数记为$\pc(G)$，是使每个顶点属于覆盖中某条路径的顶点不交路径的最小数目；而$G$的匹配数记为$\alpha'(T)$，是最大匹配中边的数目。设$T$为阶至少为2的树。我们观察到$\pc(T) + 1 \le F_t(T) \le 2\pc(T)$，并证明$F_t(T) \le \alpha'(T) + \pc(T)$。进一步，我们刻画了在这些界中取等号的极值树。