随机图中 $K_r$ 自由顶点集的最大值

对于 $r \ge 2$ 和图 $G$，记 $\alpha_{{r}}(G)$ 为 $G$ 中 $K_r$ 自由子图的顶点数最大值。我们研究当 $G$ 为随机图 $G \sim G_{n, 1/2}$ 时的 $\alpha_{r}(G)$，并发现以下现象：以高概率，$\alpha_r(G)$ 位于长度为常数的区间内，该区间随 $n$ 的值以非单调方式变化，从 $1$ 到 $\lfloor r/2 \rfloor+1$。特殊情况 $r=2$ 对应于随机图的独立数，这一结果众所周知具有两点聚集；我们的研究因此拓展并概括了这一基本事实，显示当 $r>2$ 时更复杂的行为。我们还证明了将 $K_r$ 取代为任意颜色临界图（如 $C_5$）的类似结果。