关于二项随机图大子图的大小

我们考虑二项随机图 $G(n,p)$，其中 $p$ 为常数，并回答以下两个问题。第一，给定 $e(k)=p{k\choose 2}+O(k)$，使得几乎必然（a.a.s.）二项随机图 $G(n,p)$ 具有含 $k$ 个顶点与 $e(k)$ 条边的诱导子图的最大 $k$ 是多少？我们证明该最大值不集中于任何有限集中（与小 $e(k)$ 的情形相反）。此外，对每个常数 $C>0$ 及每个 $\omega_n\to\infty$，几乎必然该集中集的大小属于 $(C\sqrt{n/\ln n},\omega_n\sqrt{n/\ln n})$。第二，给定 $k>\varepsilon n$，使得几乎必然 $G(n,p)$ 的 $k$ 顶点子图大小集合包含一个长度为 $\mu$ 的完整数区间的最大 $\mu$ 是多少？答案为 $\mu=\Theta\left(\sqrt{(n-k)n\ln{n\choose k}}\right)$。