随机图的 $H$-无圈子图中的众多团

对于两个固定图 $T$ 和 $H$，令 $ex(G(n,p),T,H)$ 为计数随机图 $G(n,p)$ 的 $H$-无圈子图中 $T$ 的最大拷贝数的随机变量。我们证明，在 $T=K_m$ 且 $\chi(H)> m$ 的情况下，$ex(G(n,p),K_m,H)$ 的行为强烈依赖于 $p$ 与 $m_2(H)=\max_{H'\subset H, |V(H')|'\geq 3}\left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} \right\}$ 之间的关系。当 $m_2(H)> m_2(K_m)$ 时，我们证明，以高概率，取决于 $p$ 的值，要么可以保留几乎所有的 $K_m$ 拷贝，要么取 $G(n,p)$ 的 $\chi(H)-1$ 部子图在渐近意义上是最优的。这两种行为之间的转换发生在 $p=n^{-1/m_2(H)}$。当 $m_2(H)< m_2(K_m)$ 时，我们证明上述两种情况仍然存在，然而对于较小的 $\delta>0$，在 $p=n^{-1/m_2(H)+\delta}$ 处，通常仍可以在 $G(n,p)$ 的 $H$-无圈子图中保留大部分 $K_m$ 的拷贝。因此，在这种情况下，两种行为之间的转换发生在某个显著大于 $n^{-1/m_2(H)}$ 的 $p$ 处。为了证明第二种情况并非多余，我们提出了一种可能具有独立意义的构造。对于每个 $k \geq 4$，我们构造了一族 $k$ 色图 $G(k,\epsilon_i)$，其中当 $i$ 趋于无穷大时，$m_2(G(k,\epsilon_i))$ 趋于 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)} (< m_2(K_{k-1}))$。这对于所有的 $k$ 值都是紧的。