星与团的故事

我们证明，对无穷多个自然数 $k$，存在允许如[9]中所述的“重缩放现象”的 $k$-一致超图。更确切地说，令 $\mathcal{A}(k,I, n)$ 表示在 $n$ 个顶点上的 $k$-图类，其中所有边的两两交集的大小属于集合 $I$。我们证明，若 $k=rt^2$ 对于某个 $r\ge 1$ 和 $t\ge 2$，且 $I$ 以某种特殊方式选取，则 $\mathcal{A}(rt^2,I, n)$ 中稠密图要么由大度星型主导，要么基本上它们是“$t$-厚” $rt^2$-图，其中顶点被划分为每组 $t$ 个顶点的组，且每条边是 $tr$ 个这样的组的并。容易看出，与星型不同，$t$-厚图的最大度低于其边数的阶。因此，若我们研究 $\mathcal{A}(rt^2,I, n)$ 中具有预设边数 $m$ 且使最大度最小的图，在 $m$ 取最大 $t$-厚图的边数附近的值时，可观察到快速的、不连续的相变。有趣的是，这两类 $k$-图决定了 $\mathcal{A}(rt^2,I, n)$ 中所有超图的结构。即，我们证明每个这样的超图可分解为一个 $t$-厚图 $H_T$、一个特殊的星型集合 $H_S$ 以及一个稀疏的“剩余”图 $H_R$。