关于Mantel定理在均匀稠密超图上的推广

对于$k$-一致超图$F$，令$\textrm{ex}(n,F)$为不包含$F$的副本的$k$-一致$n$-顶点超图$H$的最大边数。确定或估计$\textrm{ex}(n,F)$是极值组合学中一个经典且核心的问题。尽管由于Turán以及Erdős和Stone的工作，$k=2$时该问题已被充分理解，但对于$k>2$的$k$-一致超图却知之甚少。我们关注$F$为具有$k+1$个顶点、三条边的$k$-一致超图的情形。即使这个非常简单（也许看起来有些特殊）的问题在$k=3$时仍然完全未解。我们考虑该问题的一个变体，其中大超图$H$满足额外的遗传密度条件。Erdős和Sós大约在30年前提出过此类问题。我们证明，若$k$-一致超图$H$相对于由$(k-2)$元组集合诱导的每个大型$k$-团集合的密度均$>2^{1-k}$，则$H$包含$F$的副本。所需的密度$2^{1-k}$是最佳的，因为更高阶的竞赛图构造表明了这一点。我们的结果可视为Mantel在图论中的第一个极值结果（当$k=2$且遗传密度条件退化为常规密度条件时）与Glebov、Král'和Volec近期结果（当$k=3$且$H$的大顶点子集诱导出密度$>1/4$的子超图时）的共同推广。我们对任意$k\geq 2$的证明利用了超图的正则性方法。