迈向退化超图的密度Corrádi–Hajnal定理

给定 $r \ge 2$ 的 $r$-图 $F$，令 $\mathrm{ex}(n, (t+1) F)$ 表示 $n$ 个顶点的 $r$-图中至多含 $t$ 个两两顶点不交的 $F$ 副本的最大边数。扩展若干旧结果并补充先前关于非退化超图的工作 [J. Hou, H. Li, X. Liu, L.-T. Yuan, and Y. Zhang. A step towards a general density Corr\'{a}di--Hajnal theorem. arXiv:2302.09849, 2023.]，我们启动了对退化超图 $F$ 的 $\mathrm{ex}(n, (t+1) F)$ 的系统性研究。对一类广泛的退化超图 $F$，当 $n$ 充分大且 $t$ 落于区间 $\left[0, \frac{\varepsilon \cdot \mathrm{ex}(n,F)}{n^{r-1}}\right]$、$\left[\frac{\mathrm{ex}(n,F)}{\varepsilon n^{r-1}}, \varepsilon n \right]$ 和 $\left[ (1-\varepsilon)\frac{n}{v(F)}, \frac{n}{v(F)} \right]$ 内时，我们给出 $\mathrm{ex}(n, (t+1) F)$ 的近最优上界，其中 $\varepsilon > 0$ 为仅依赖于 $F$ 的常数。我们的结果揭示了三个区间内极值构造非常不同的结构，并给出了第一区间内极值构造的刻画。此外，对图，我们给出了第二区间内极值构造的刻画。我们对第一区间的证明也适用于一类特殊的非退化超图，包括那些Tur\'{a}n密度未确定的超图，部分改进了 [J. Hou, H. Li, X. Liu, L.-T. Yuan, and Y. Zhang. A step towards a general density Corr\'{a}di--Hajnal theorem. arXiv:2302.09849, 2023.] 中的结果。