非二部图的 Turán 数及其在谱极值问题中的应用

给定一个图族 $\mathcal{H}$，满足 $\min_{H\in \mathcal{H}}\chi(H)=r+1\geq 3$。令 ${\rm ex}(n,\mathcal{H})$ 和 ${\rm spex}(n,\mathcal{H})$ 分别表示所有 $n$ 阶无 $\mathcal{H}$ 子图的图中边的最大数量和邻接矩阵的最大谱半径。用 ${\rm EX}(n,\mathcal{H})$（分别对应 ${\rm SPEX}(n,\mathcal{H})$）表示关于 ${\rm ex}(n,\mathcal{H})$（分别对应 ${\rm spex}(n,\mathcal{H})$）的极值图集合。在本文中，我们使用 Simonovits 定义的分解族来刻画哪些图族 $\mathcal{H}$ 满足 ${\rm ex}(n,\mathcal{H})<e(T_{n,r})+\lfloor \frac{n}{2r} \rfloor$。此外，对于足够大的 $n$，我们完全确定了 ${\rm EX}\big(n,\mathbb{G}(F_1,\ldots,F_k)\big)$，其中 $\mathbb{G}(F_1,\ldots,F_k)$ 表示一个由 $k$ 个边不相交的 $(r+1)$-色临界图 $F_1,\ldots,F_k$ 组成的有限图族。这一结果加强了 Gy\H{o}ri 的一个定理，他解决了 $F_1=\cdots =F_k = K_{r+1}$ 的情形。Wang, Kang 和 Xue 证明了对于足够大的 $n$ 和任何满足 ${\rm ex}(n,H)=e(T_{n,r})+O(1)$ 的图 $H$，有 ${\rm SPEX}(n,H)\subseteq {\rm EX}(n,H)$。作为我们第一个定理的应用，我们证明对于足够大的 $n$ 和任何满足 ${\rm ex}(n,\mathcal{H})<e(T_{n,r})+\lfloor \frac{n}{2r}\rfloor$ 的有限图族 $\mathcal{H}$，有 ${\rm SPEX}(n,\mathcal{H})\subseteq {\rm EX}(n,\mathcal{H})$。作为我们第二个定理的应用，我们完全确定了足够大的 $n$ 下的 ${\rm SPEX}\big(n,\mathbb{G}(F_1,\ldots,F_k)\big)$。最后，我们提出了相关问题以供进一步研究。