Mantel 定理向随机 4-一致超图的推广

Mantel 定理的一个稀疏版本指出，对于足够大的 $p$，以高概率（w.h.p.），$G(n,p)$ 的每个最大无三角形子图都是二部图。DeMarco 和 Kahn 证明了对于某个常数 $K$，当 $p>K \sqrt{\log n/n}$ 时该结论成立，且除常数数值外，此界是最优的。记 $T_3$ 为顶点集 $\{a,b,c,d,e\}$ 且边集 $\{abc,ade,bde\}$ 的 3-一致超图。Frankl 和 F"uredi 表明，对于 $n> 3000$，不含 $T_3$ 拷贝的 $n$ 顶点最大 3-一致超图是三部图。对于某个整数 $k$，令 $G^k(n,p)$ 为随机 $k$-一致超图。Balogh 等人证明了对于某个常数 $K$，当 $p>K \log n/n$ 时，$G^3(n,p)$ 的每个最大 $T_3$--free 子超图 w.h.p. 是三部图，而当 $p=0.1 \sqrt{\log n}/n$ 时该结论不成立。记 $T_4$ 为顶点集 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 且边集 $\{1234,1235,4567\}$ 的 4-一致超图。Pikhurko 证明了存在一个 $n_0$，使得对于所有 $n\ge n_0$，不含 $T_4$ 拷贝的 $n$ 顶点最大 4-一致超图是 4-部图。在本文中，我们将此类极值问题推广到随机 4-一致超图中。我们证明，对于某个常数 $K$ 且 $p>K \log n/n$，w.h.p. $G^4(n,p)$ 的每个最大 $T_4$-free 子超图都是 4-部图。