C4-无环图中独立覆盖的下界

图 $G$ 中的独立集是 $G$ 中两两不相邻的顶点集合 $S$。$G$ 中独立集的族 $\mathcal{F}$ 称为 $k$-独立覆盖族，如果对于 $G$ 中每个大小至多为 $k$ 的独立集 $I$，存在 $S \in \mathcal{F}$ 使得 $I \subseteq S$。Lokshtanov 等人 [ACM Transactions on Algorithms, 2018] 证明了退化度为 $d$ 的图容许大小为 $\binom{k(d+1)}{k} \cdot 2^{o(kd)} \cdot \log n$ 的 $k$-独立覆盖族，并利用该结果设计了若干问题的有效参数化算法，包括稳定奇环横截（STABLE ODD CYCLE TRANSVERSAL）和稳定多割（STABLE MULTICUT）。鉴于 Lokshtanov 等人的结果，很自然地会问是否更一般的图族也容许大小为 $f(k)n^{O(1)}$ 的 $k$-独立覆盖族。排除具有两侧各 $d+1$ 个顶点的完全二部图 $K_{d+1,d+1}$ 作为子图的图（称为 $K_{d+1,d+1}$-无环图）是 $d$-退化图常被考虑的推广。这引出了一个问题：$K_{d,d}$-无环图是否容许大小为 $f(k,d)n^{O(1)}$ 的 $k$-独立覆盖族。我们的主要结果是对此问题响亮的“否”——具体而言，我们证明即使是 $K_{2,2}$-无环图（或等价地 $C_4$-无环图）也不容许大小为 $f(k)n^{\frac{k}{4}-\epsilon}$ 的 $k$-独立覆盖族。