图上的无覆盖家族

一个 $t$ 元素子集族称为 $d$ -无覆盖家族（$d$ -CFF），若其中没有任何一个子集被其他任意 $d$ 个子集的并所包含。记 $t(d, n)$ 为存在具有 $n$ 个子集的 $d$ -CFF 在元素数目 $t$ 上的最小值。由于 $1$ -CFF 等价于 Sperner 家族，由 Sperner 定理可得 $t(1, n) \sim \log_{2}(n)$。Erd\"os、Frankl 和 F\"uredi (JCTA, 1982) 证明 $3.106\log_{2}(n) < t(2,n) < 5.512\log_{2}(n)$。本文聚焦于将 $1$ -CFF 和 $2$ -CFF 推广到图 $G$ 上，其中顶点对应于集合系统中的子集。$G$ -Sperner$(t, n)$ 是子集族，使得 $G$ 的每条边指定一对互不包含的子集；$G$ -CFF$(t, n)$ 是子集族，使得它是 $G$ -Sperner 且对应于 $G$ 每条边的两子集的并不包含家族中其他任何子集。记 $t_s(G)$ 和 $t(G)$ 为存在 $G$ -Sperner$(t, n)$ 和 $G$ -CFF$(t, n)$ 的最小 $t$。由此，$t_s(K_n) = t(1, n)$ 且 $t(K_n) = t(2, n)$。首先，我们证明 $t_s(G) = t(1, \chi(G))$ 对任意简单图 $G$ 成立，并给出 $t(G)$ 的各种上、下界。平凡界 $t(1, n) \leq t(G) \leq t(2, n)$ 对无孤立点的简单图 $G$ 成立，其中下界对无限族星形图紧致，上界对完全图紧致。我们研究这些界何时可改善，并给出星形、路径、环、轮和风车图的改进构造性上界。特别地，基于混合进制 Gray 码的构造得到 $\log_{2}(n) \leq t(P_n) \leq t(C_n) \leq 1.893\log_{2}(n) + \mathcal{O}(1)$，其中 $P_n$ 和 $C_n$ 分别为具有 $n$ 个顶点的路径和环。