两部分集系

Katona 和 Kleitman 的两部分 Sperner 定理指出，若 $X$ 是一个具有划分 $X_1 \cup X_2$ 的 $n$ 元集，且 $\cF$ 是 $X$ 的子集族，使得不存在两个集合 $A, B \in \cF$ 同时满足 $A \subset B$（或 $B \subset A$）以及对于某个 $i$ 有 $A \cap X_i=B \cap X_i$，则 $|\cF| \le {n \choose \lfloor n/2 \rfloor}$。我们通过用交性质替代 Sperner 性质，并考虑在 $X_1$ 或 $X_2$ 的一个或两个部分上满足这些性质各种组合的集族，来研究该问题的变体。在此过程中，我们证明了以下可能具有独立意义的新结果：设 $\cF, \cG$ 为 $n$ 元集的子集族，且 $\cF$ 和 $\cG$ 均为相交集族且互为跨 Sperner 集族（cross-Sperner），即若 $A \in \cF$ 且 $B \in \cG$，则 $A \not\subset B$ 且 $B \not\subset A$。那么 $|\cF| +|\cG| < 2^{n-1}$，且存在指数级多的例子表明该界是紧的。