带额外条件的巴拉尼亚定理变体

巴拉尼亚定理的经典形式表明，给定整数 $2\leq k < n$ 且 $k$ 整除 $n$，可找到 ${n-1\choose k-1}$ 个 [n] 的划分族，其中每个划分由 k 元素子集组成，且每个子集恰好出现在一个划分中。本文延续 Katona 和 Katona 最近研究的工作，探讨由 k 元素集合组成的部分划分 (parpartition)，这些集合彼此之间重叠不显著。更准确地说，两个 parpartition $P_1$ 和 $P_2$ 若满足 $A_1\neq B_1\in P_1$ 和 $A_2\neq B_2\in P_2$ 且 $|A_1\cap A_2| > \alpha{k}$ 且 $|B_1\cap B_2| > \beta{k}$，则称其为 $(\alpha,\beta)$-close。我们证明，给定满足 $k^2\ell\leq n$ 且 $\alpha,\beta\in (0,1)$ 且 $\alpha+\beta\geq{(k+2)/k}$ 的整数 $k$, $\ell$, 和 $n$，可找到 $\lfloor {n\choose k}/\ell\rfloor$ 个 $(k, \ell)$-parpartition 使得没有两个互不相同的 $(k, \ell)$-parpartition 是 $(\alpha,\beta)$-close；该结果改进了 Katona 和 Katona 对于 $\alpha = \beta = 1/2$ 的相应结果中 $k=O(1)$ 和 $\ell=o(\sqrt{n})$ 的条件。我们也证明，给定满足 $k=O(1)$ 和 $\ell=o(\sqrt{n})$ 的整数 $k$, $\ell$, 和 $n$，可为任意选定的 $\alpha+\beta\geq{1}$ 对 [n] 的 k 元素子集构造一个循环顺序，使得其中任意 $\ell$ 个连续 k 元素子集形成该顺序下的 $(k, \ell)$-parpartition，我们称之为该顺序下的连续 $(k, \ell)$-parpartition，并且这些任意两个互不相交的连续 $(k, \ell)$-parpartition 不是 $(\alpha,\beta)$-close。