子集划分的 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理

$k\ell$-子集划分，或称 $(k,\ell)$-子划分，是指一个 $n$ 集的子集，其大小为 $k\ell$，并被划分为 $\ell$ 个互不相同的类，每个类的大小为 $k$。如果两个 $(k,\ell)$-子划分至少有 $t$ 个公共类，则称它们 $t$-相交。在本文中，我们证明了关于 $(k,\ell)$-子划分相交族的一个 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理。我们表明，对于 $n \geq k\ell$，$\ell \geq 2$ 且 $k \geq 3$，最大的 $1$-相交族包含的 $(k,\ell)$-子划分数量至多为 $\frac{1}{(\ell-1)!}\binom{n-k}{k}\binom{n-2k}{k}\cdots\binom{n-(\ell-1)k}{k}$，且该上界仅由具有一个公共固定类的 $(k,\ell)$-子划分族达到，该族被称为$(k,\ell)$-子划分的*典型相交族*。此外，只要 $n$ 相对于 $k,\ell$ 和 $t$ 足够大，最大的 $t$-相交族即为包含一组 $t$ 个公共固定类的 $(k,\ell)$-子划分族。