关于 $d$ 度 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理

若对任意 $A, B \in \mathcal{F}$ 都有 $A \cap B \neq \emptyset$,则集合族 $\mathcal{F}$ 为交叉族。本文证明,对于给定整数 $k > d \ge 2$ 和 $n \ge 2k+2d-3$,以及任意一个由 $k$ 子集组成的交叉族 $\mathcal{F}$ (其元素来自 $\{1, \cdots, n\}$),必存在一个 $d$ 子集,其包含的 $\mathcal{F}$ 中至多 $\binom{n-d-1}{k-d-1}$ 个子集。该结果通过谱图论证明,给出了 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的 $d$ 度推广,改进了 Kupavskii 的定理。