关于Erdős-Ko-Rado型定理的一个反问题

如果子集族$\mathcal{F}\subseteq {[n]\choose k}$中任意两个成员共享一个共同元素，则称该子集族为相交族。考虑一个相交族，正向问题是确定其最大尺寸，而反问题是刻画其极值结构及相应的稳定性。著名的Erdős-Ko-Rado定理回答了正向和反问题，并开创了有限集相交问题研究的时代。在本文中，我们考虑以下定量相交问题，它可以被视为Erdős-Ko-Rado型定理的反问题：对于$\mathcal{F}\subseteq {[n]\choose k}$，定义其\emph{总相交数}为$\mathcal{I}(\mathcal{F})=\sum_{F_1,F_2\in \mathcal{F}}|F_1\cap F_2|$。那么，当$\mathcal{F}$在${[n]\choose k}$中所有具有相同族大小的族中具有最大总相交数时，$\mathcal{F}$的结构是什么？使用纯组合方法，我们提供了在给定大小下使总相交数最大化的最优族的两个结构刻画。作为推论，对于足够大的$n$和适当大小的$\mathcal{F}$，这些刻画表明最优族$\mathcal{F}$确实是$t$-相交的（$t\geq 1$）。在某种程度上，这揭示了相交性与最大化总相交数性质之间的关系。此外，我们给出了$|\mathcal{F}|$在几个区间内$\mathcal{I}(\mathcal{F})$的上界，并确定了具有特定值的族的最优唯一结构。