关于相交族之并

若一个集族中任意两个集合的交集均非空，则称该集族为**相交的**。1973年，Erdős提出了如下问题：对于任意整数三元组 $(n,k,r)$，确定一个 $n$ 元集的 $k$ 元子集所构成的 $r$ 个不同相交族之并的最大可能规模。我们在此问题上取得了进展，证明了对于任意固定整数 $r \geq 2$ 以及任意满足 $k \leq (\tfrac{1}{2}-o(1))n$ 的 $k$，若 $X$ 是一个 $n$ 元集，且 $\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup \ldots \cup \mathcal{F}_r$，其中每个 $\mathcal{F}_i$ 均为 $X$ 的 $k$ 元子集构成的相交族，则 $|\mathcal{F}| \leq {n \choose k} - {n-r \choose k}$，等号成立当且仅当存在某个 $R \subset X$ 满足 $|R|=r$，使得 $\mathcal{F} = \{S \subset X:\ |S|=k,\ S \cap R \neq \emptyset\}$。这一结果在 $o(1)$ 项的规模内是最优的，并改进了 Frankl 和 Füredi 在1987年于 $r=2$ 情形下在更强假设 $k < (3-\sqrt{5})n/2$ 下得到的相同结论。我们的证明利用了 Keller 与作者们近期发展的一种基于等周与影响力的方法。