有限集的闭相交族及其应用

Kaushik Majumder

有限集的闭相交族及其应用

组合数学 2014-12-09 v2

作者: Kaushik Majumder

摘要

Paul Erd\H{o}s 和 L\'aszl\'o Lov\'asz 确立了任何 $k-$ 集的极大相交族至多有 $k^{k}$ 个块。他们提出了寻找此类族中块的最大可能数的问题。他们还证明了存在一个具有约 $(e-1)k!$ 个块的 $k-$ 集极大相交族。后来 P\'eter Frankl、Katsuhiro Ota 和 Norihide Tokushige 利用一种非凡的构造证明了存在一个至少具有 $(\frac{k}{2})^{k-1}$ 个块的 $k-$ 集极大相交族。在本文中，我们引入了 $k-$ 集的闭相交族的概念，并证明此类族总是可以嵌入到 $k-$ 集的极大相交族中。利用这一结果，我们提出了两个反例，驳斥了 Frankl 等人猜想中的两个特例。本文还提供了至少具有 $(\frac{k}{2})^{k-1}$ 个块的 $k-$ 集极大相交族的相对简单的构造。

关键词

相交族有限集极大相交族闭相交族 Erd\H{o}s-Lov\'asz 定理 Frankl 猜想组合数学

引用

@article{arxiv.1411.1480,
  title  = {Closed Intersecting Families of finite sets and their applications},
  author = {Kaushik Majumder},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1411.1480},
  year   = {2014}
}

备注

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