相交族中不同差集数量的最佳可能界

对于族 $\mathcal F$，令 $\mathcal D(\mathcal F)$ 表示所有可表示为 $F\setminus G$ 的集合组成的族，其中 $F,G\in \mathcal F$。若族中任意两个集合具有非空交集，则该族为相交族。在本文中，我们研究以下问题：对于 $k$ 元集合的相交族，$\mathcal D(\mathcal F)$ 的最大大小是多少？Frankl 猜想当 $\mathcal F$ 为所有含固定元素的集合组成的族时达到最大。我们证明若 $n \ge 50k\ln k$ 且 $k \ge 50$ 则此成立。同时，我们为 $n< 4k$ 提供了一个反例。