相交族不同交集个数阈值的改进

设 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的子集族 $\mathcal{F}$ 满足对任意两个成员 $F, G \in \mathcal{F}$ 及某个正整数 $t$ 有 $|F\cap G| \geq t$,则称其为 $t$-相交族;若 $t=1$,则称 $\mathcal{F}$ 为相交族。定义集合 $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \{F\cap G: F, G \in \mathcal{F} \text{ 且 } F \neq G\}$ 为 $\mathcal{F}$ 的所有不同交集的全体。Frankl 等人给出了 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的 $k$-子集相交族 $\mathcal{F}$ 的 $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 大小的上界,其定理对整数 $n \geq 50 k^2$ 成立。本文中,我们证明了 $t$-相交族 $\mathcal{F}$ 的 $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ 大小的上界,前提是 $n$ 超过某个数 $f(k,t)$。在此过程中,我们还将相交族的阈值 $k^2$ 改进为 $k^{3/2+o(1)}$。