覆盖数为三的交叉族 II

一个家族 $\mathcal{F}\subset \binom{[n]}{k}$ 被称为交叉族，如果对所有 $F,F'\in \mathcal{F}$ 都有 $F\cap F'\neq \emptyset$。家族 $\mathcal{F}$ 的覆盖数定义为最小的 $T\subset [n]$ 的大小，使得 $T\cap F\neq \emptyset$ 对所有 $F\in \mathcal{F}$ 都成立。1980 年，第一作者证明了对于足够大的 $n$，任何覆盖数至少为三的 $k$ 图 $\mathcal{F}$ 满足 $|\mathcal{F}|\leq \binom{n-1}{k-1}-\binom{n-k}{k-1}-\binom{n-k-1}{k-1}+\binom{n-2k}{k-1}+\binom{n-k-2}{k-3}+3$。在超过四十年间都很少有进展，但最近（参见 \cite{FW25}），以完全不同的方法我们证明了相同结果适用于完整范围 $n\geq 2k$ 和 $k\geq 7$。在本短文中，我们证明了相同不等式适用于所有剩余情况。