Frankl 关于交叉交集族猜想的证明

若对任意 $F\in \mathcal{F}$ 和 $G\in \mathcal{G}$，交集 $F\cap G$ 非空，则称两族 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 为交叉交集族。对任意正整数 $n$ 和 $k$，设 $\binom{[n]}{k}$ 表示 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的所有 $k$ 元子集组成的族。设 $t, s, k, n$ 为非负整数，满足 $k \geq s+1$ 且 $n \geq 2 k+t$。2016 年，Frankl 证明了：若 $\mathcal{F} \subseteq\binom{[n]}{k+t}$ 和 $\mathcal{G} \subseteq\binom{[n]}{k}$ 为交叉交集族，且 $\mathcal{F}$ 是 $(t+1)$-交集的且 $|\mathcal{F}| \geq 1$，则 $|\mathcal{F}|+|\mathcal{G}| \leq\binom{n}{k}-\binom{n-k-t}{k}+1$。此外，Frankl 猜想：在额外条件 $\binom{[k+t+s]} {k+t}\subseteq\mathcal{F}$ 下，以下不等式成立：$$|\mathcal{F}|+|\mathcal{G}| \leq\binom{k+t+s}{k+t}+\binom{n}{k}-\sum_{i=0}^s\binom{k+t+s}{i}\binom{n-k-t-s}{k-i}.$$ 本文证明了这一猜想。关键要素是建立一个针对受限全集的交叉交集族定理。此外，我们还推导出了该猜想的一个类似结果。