关于半捆绑交叉相交族的一个结果

两个族$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$被称为交叉相交的，如果对于每个$F\in \mathcal{F}$和$G\in \mathcal{G}$，交集$F\cap G$非空。在附加假设这两个族中有一个是相交的条件下，确定交叉相交族大小的最大和具有重要意义。这样的一对族被称为半捆绑的。特别地，Frankl (2016)证明，对于$k \geq 1, t\ge 0$和$n \geq 2 k+t$，如果$\mathcal{F} \subseteq\binom{[n]}{k+t}$和$\mathcal{G} \subseteq\binom{[n]}{k}$是交叉相交族，其中$\mathcal{F}$非空且是$(t+1)$-相交的，那么$|\mathcal{F}|+|\mathcal{G}| \leq\binom{n}{k}-\binom{n-k-t}{k}+1$。当$\mathcal{F}$由单个集合组成时，该界可以达到。在本文中，我们在约束条件$|\mathcal{F}| \geq r$（对于每个$r\leq n-k-t+1$）下推广了这一结果。此外，我们研究了具有$s$-并性质的非均匀族的Katona定理的稳定性结果。我们的结果扩展了Frankl (2017)以及Li和Wu (2024)建立的稳定性。作为应用，我们重新审视了Frankl和Wang (2024)的一个近期结果以及Kupavskii (2018)的一个结果。此外，我们确定了这两个结果中的极值族。