大型相交族的结构与性质

若一个 n 元素集的 k-子集族中任意两个集合均相交，则称其为相交族。本文研究大型相交族的性质与结构。我们证明了 Frankl 关于具有有界最大度的相交族定理的结论性版本。该定理及其对交叉相交族的推广，强化了 Frankl、Frankl 与 Tokushige、Kupavskii 与 Zakharov 等人所得结果。我们研究大型相交族的结构，得到若干非常一般的结构定理，推广了 Han 与 Kohayakawa 以及 Kostochka 与 Mubayi 的结果。我们还获得了 70 年代引入的若干经典相交族问题的推广。我们推广了 Frankl 的一个旧结果，其中他确定了覆盖数为 $3$ 的最大相交 k-集族在 $n>n_0(k)$ 时的规模与结构。我们对 $n>Ck$ 得到相同结果，其中 $C$ 为绝对常数。最后，我们对 Erdős、Rothschild 与 Szémeredi 的如下问题获得类似推广：对于不同 c 值，在无一元素出现于超过 c 比例的集合中时，最大的相交族是什么。