无完美匹配的族

我们考虑 $\{1, \dots, n\}$ 的 $k$-子集族，其中 $n$ 是 $k$ 的倍数，且该族没有完美匹配。族 $\mathcal{F}$ 没有完美匹配的一个等价条件是存在一个阻塞集，即 $\{1, \dots, n\}$ 中 $b$ 个元素组成的集合，无法被 $\mathcal{F}$ 中 $b$ 个互不相交的集合覆盖。我们特别关注在没有完美匹配且没有大小小于 $b$ 的阻塞集的条件下，族 $\mathcal{F}$ 可能的最大大小。Frankl 解决了具有单元素阻塞集（换言之，$b=2$ 情形）的族在 $n$ 充分大时的情况，并猜想了一般 $b$ 的最优构造。尽管 Frankl 的构造在 $k = 2, 3$ 时并非最优，我们证明该构造在 $k \ge 100$ 且 $n$ 充分大时是最优的。