集合族中的可比较对
组合数学
2014-11-18 v1
摘要
给定 [n] 的子集族 F，我们称其中两个集合 A, B ∈ F 是可比较的，如果 A ⊂ B 或 B ⊂ A。Sperner 著名定理给出了不含任何可比较对的族的大小的上界。这一结果后来由 Kleitman 推广，他给出了给定大小的族中可比较对的最小数量。在本文中，我们研究了 Erdős、Daykin 和 Frankl 在 20 世纪 80 年代初提出的一个互补问题。他们询问一个包含 [n] 的 m 个子集的族中最多可以出现多少个可比较对，我们将其记为 c(n,m)。我们首先解决了 Alon 和 Frankl 的一个旧猜想，证明当 m = n^{ω(1)} 2^{n/2} 时，c(n,m) = o(m^2)。我们还为稀疏族和稠密族获得了 c(n,m) 更精确的界，对某些 m 值刻画了极值构造，并加强了一些其他已知结果。
引用
@article{arxiv.1411.4196,
title = {Comparable pairs in families of sets},
author = {Noga Alon and Shagnik Das and Roman Glebov and Benny Sudakov},
journal= {arXiv preprint arXiv:1411.4196},
year = {2014}
}
备注
18 pages