使链数最小化的偏序集子集

Sperner 的一个著名定理描述了一个 $n$ 元素集合中互不包含的最大子集族。推广这一结果，Erd\H{o}s 刻画了 $n$ 元素集合中不包含任意长度 $k$ 的集合链 $A_1 \subset \dotsc \subset A_k$ 的最大子集族。这些极值族包含了所有基数属于以 $n/2$ 为中心、长度为 $k-1$ 的区间内的子集。作为 Sperner 定理的深远推广，Kleitman 确定了在 $n$ 元素集合的给定数量 $a$ 的子集族中，必然出现的长度为 2 的链的最小数目。对于每一个 $a$，该最小值由包含 $a$ 个集合且其基数尽可能接近 $n/2+1/4$ 的子集族实现。我们证明了，对于所有的 $a$ 和 $n$，关于任意长度 $k$ 的链，同样的结论依然成立，从而证实了 Kleitman 在五十年前作出的预测。我们还刻画了所有具有最少长度为 $k$ 的链的 $a$ 个子集的子集族，针对所有使该最小数目为正的 $a$。我们的论证受到 Noel、Scott 和 Sudakov 近期论文中一个优雅的概率引理的启发，而该引理又可追溯至 Lubell 对 Sperner 定理的证明。