关于饱和 $k$-Sperner 系

给定集合 $X$，若族 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(X)$ 在集合包含关系下不包含长度为 $k+1$ 的链，则称其为 $k$-Sperner 系；若其关于此性质是极大的，则称其为饱和的。Gerbner 等人猜想，若 $|X|$ 相对于 $k$ 足够大，则饱和 $k$-Sperner 系 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(X)$ 的最小规模为 $2^{k-1}$。我们通过证明存在 $\varepsilon>0$，使得对于每个 $k$ 和 $|X| \geq n_0(k)$，都存在一个基数至多为 $2^{(1-\varepsilon)k}$ 的饱和 $k$-Sperner 系 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(X)$，从而否定了该猜想。若对于每个 $S\in\mathcal{P}(X)\setminus\mathcal{F}$，$\mathcal{F}\cup\{S\}$ 包含的长度为 $k+1$ 的链多于 $\mathcal{F}$，则称族 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 为过饱和 $k$-Sperner 系。Gerbner 等人证明了，若 $|X|\geq k$，则此类最小族包含的元素数量介于 $2^{k/2-1}$ 和 $O\left(\frac{\log{k}}{k}2^k\right)$ 之间。我们表明，若 $|X|\geq k^2+k$，则该下界在多项式因子范围内是最优的。