最小饱和集族

称 $[n]$ 的子集族 $\mathcal{F}$ 为 $s$-饱和的，若它不包含 $s$ 个两两不交的集合，且此外在保持该性质的前提下无法向 $\mathcal{F}$ 中添加任何集合（此处 $[n] = \{1,\ldots,n\}$）。四十多年前，Erd\H{o}s 与 Kleitman 猜想：$[n]$ 的 $s$-饱和子集族的大小至少为 $(1 - 2^{-(s-1)})2^n$。容易证明每个 $s$-饱和族的大小至少为 $\frac{1}{2}\cdot 2^n$，但正如 Frankl 与 Tokushige 所提及，即便对某些固定 $\varepsilon > 0$ 获得略好的界 $(1/2 + \varepsilon)2^n$ 也似乎困难。在本注记中，我们证明了这样一个结果，表明 $[n]$ 的每个 $s$-饱和子集族的大小至少为 $(1 - 1/s)2^n$。该下界是此问题的多部版本的一个推论，其中我们寻求 $|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}_s|$ 的下界，这里 $\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_s$ 是 $[n]$ 的子集族，使得不存在来自每个族 $\mathcal{F}_i$ 的各一个共 $s$ 个两两不交的集合，且此外在保持该性质的前提下无法向任一族中添加任何集合。我们证明 $|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}_s| \ge (s-1)\cdot 2^n$，该界是紧的，例如取 $\mathcal{F}_1$ 为空而其余族为 $[n]$ 的所有子集族即可达到。