关于并封闭族的两个结果

我们证明存在某个绝对常数$c>0$，使得对于任何并封闭族$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，如果$|\mathcal{F}| \geq (\frac{1}{2}-c)2^n$，则存在某个元素$i \in [n]$出现在$\mathcal{F}$中至少一半的集合里。我们还证明，对于任何并封闭族$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，不在$\mathcal{F}$中但覆盖$\mathcal{F}$中某个集合的集合数目至多为$2^{n-1}$，并给出了不等式紧确的例子。