并闭族的闭包

给定全集 $[n]$ 的一个并闭族 $\mathcal{F}$，且 $\mathcal{F}$ 不等于 $[n]$ 的幂集，可以向其中添加一个新的子集 $A$，使得所得族仍为并闭的。我们通过向 $\mathcal{F}$ 添加所有这样的 $A$ 来构造一个新族 $\overline{\mathcal{F}}$，并称其为 $\mathcal F$ 的闭包。本文致力于研究此类闭包的各种性质，包括刻画其闭包等于 $[n]$ 幂集的族，以及给出此类族存在闭包根的一个判据等。