关于并闭集族的猜想

集族 $\mathcal{A}$ 是并闭的，如果它是有限且非空的，其成员集合均为有限且互异（其中至少一个非空），并满足性质 $X, Y \in \mathcal{A} \implies X \cup Y \in \mathcal{A}$。令 $\binom{S}{k}$ 为集合 $S$ 的所有 $k$ 元子集构成的集合，并令 $[n]=\{1,2,\cdots,n\}$ 表示 $\bigcup_{A \in \mathcal{A}}A$。进一步，令 $\mathcal{A}_B=\{A\in\mathcal{A} \ | \ A \cap B = B\}$ 且 $\mathcal{A}_{\underline{B}}=\{A\in\mathcal{A} \ | \ A \cap B = \emptyset\}$。对任意并闭集族 $\mathcal{A}$，我们考虑猜想类 $\textrm{UC}_x \colon \ \exists B \in \binom{[n]}{n-x+1} \ | \ |\mathcal{A}_B| \geq |\mathcal{A}_{\underline{B}}|$，其中 $x \in [n]$。极值情形 $x=n$ 等价于并闭集猜想，也称为 Frankl 猜想，其陈述为：存在 $[n]$ 中的一个元素，它属于 $\mathcal{A}$ 的至少 $\frac{|\mathcal{A}|}{2}$ 个成员集合。我们证明了对于 $x \in [\lceil \frac{n}{3} \rceil + 1]$ 的 $\textrm{UC}_x$，并研究了并闭集猜想的两个加强形式。