联合封闭集族第二频率的进一步分析

「联合封闭集猜想」，亦称 Frankl 猜想，询问对于任意包含 $m$ 个集合的联合封闭集族 $\mathcal{F}$，是否存在一个元素至少出现在该集族中 $\frac{1}{2}\cdot m$ 个集合中。在 2022 年，Nagel 提出了更强的猜想，即在任意联合封闭集族中（其基集大小至少为 $k$），总存在 $k$ 个元素至少出现在该集族中 $\frac{1}{2^{k-1}+1}$ 比例的集合中。Das 和 Wu 证明了该猜想对 $k\geq 3$ 以及 $k=2$（当 $|\mathcal{F}|$ 不在特定范围内时）均成立。在本 companion 论文中，我们通过线性规划进一步分析当 $\mathcal{F}$ 违反 $k=2$ 的 Nagel 猜想时的情形。