极小钻石饱和族

对于给定的固定偏序集 $\mathcal P$，我们称 $[n]$ 的子集族为 $\mathcal P$-饱和的，如果它不包含 $\mathcal P$ 的诱导拷贝，但每当向其加入一个新集合时，就会形成 $\mathcal P$ 的一个诱导拷贝。此类极小族的大小记为 $\text{sat}^*(n, \mathcal P)$。对于钻石偏序集 $\mathcal D_2$（二维布尔格），Martin、Smith 和 Walker 证明了 $\sqrt n\leq\text{sat}^*(n, \mathcal D_2)\leq n+1$。本文我们证明 $\text{sat}^*(n, \mathcal D_2)\geq (4-o(1))\sqrt n$。我们还探讨了大小为 $c\sqrt n$（其中 $c$ 为常数）的钻石饱和族必须具备的性质。