偏序集与反链之和的饱和性

给定一个有限偏序集 $\mathcal P$，如果 $[n]$ 的子集族 $\mathcal F$ 不包含 $\mathcal P$ 的导出副本，但向 $\mathcal F$ 添加任何其他集合都会产生 $\mathcal P$ 的导出副本，则称 $\mathcal F$ 是 $\mathcal P$-饱和的。$\mathcal P$ 的饱和数是基集为 $[n]$ 的最小 $\mathcal P$-饱和族的规模。饱和数已被证明表现出一种二分性：对于任何偏序集，饱和数要么是有界的，要么至少为 $2\sqrt n$。一般的猜想是，事实上，任何偏序集的饱和数要么是有界的，要么至少是线性的。两个偏序集 $\mathcal P_1$ 和 $\mathcal P_2$ 的线性和，记为 $\mathcal P_1*\mathcal P_2$，被定义为由完全放置在 $\mathcal P_2$ 副本之上的 $\mathcal P_1$ 副本所得到的偏序集。在本文中，我们证明对于任何 $\mathcal P_1$、$\mathcal P_2$ 和 $k\geq2$，$\mathcal P_1*\mathcal A_k*\mathcal P_2$ 的饱和数始终至少是线性的，其中 $\mathcal A_k$ 是大小为 $k$ 的反链。这是近期关于钻石偏序集饱和数是线性的结果的推广（在该情况下 $\mathcal P_1$ 和 $\mathcal P_2$ 都是单点偏序集，且 $k=2$）。我们还证明，除了已知具有有界饱和数的链之外，所有完全多部偏序集的饱和数都是线性的。