偏序集的粘合与偏序集饱和数的二分性

给定有限偏序集 $\mathcal P$，我们称 $[n]$ 的子集族 $\mathcal F$ 是 $\mathcal P$-饱和的，如果 $\mathcal F$ 不包含 $\mathcal P$ 的诱导子偏序，但向 $\mathcal F$ 添加任何其他集合都会产生 $\mathcal P$ 的诱导子偏序。偏序集 $\mathcal P$ 的饱和数是具有基集 $[n]$ 的最小 $\mathcal P$-饱和族的大小。偏序集的饱和数已知表现出二分性：要么有界，要么至少以 $\sqrt n$ 的速率增长。确定哪些偏序集具有有界饱和数是一个主要的开问题。在本文中，我们考虑一种"粘合"操作，由两个有限偏序集 $\mathcal P$ 和 $\mathcal Q$ 通过将 $\mathcal P$ 的所有元素设置为低于 $\mathcal Q$ 的所有元素而形成。我们证明（在温和假设下）该操作保持有界和无界的饱和数。这是首个发现的这种"由旧构造新"的偏序集构造。作为应用，我们证明对于任意偏序集 $\mathcal P$，最多可以向 $\mathcal P$ 添加 3 个元素以获得一个饱和数增长至多线性的偏序集：这可被视为朝向该领域的另一个主要开问题——即每个有限偏序集都具有至多线性增长——的一步。我们还考虑了图弱饱和的偏序集等价形式：对于每个有限偏序集 $\mathcal P$，我们精确确定了 $\mathcal P$ 的最小渗流族的大小。