集族迹的禁用子偏序集问题

在本文中，我们引入了一个连接禁用子偏序集和禁用子配置问题的研究课题。集合 $F_1,F_2, \dots,F_{|P|}$ 构成偏序集 $P$ 的一个副本，如果存在一个双射 $i:P\rightarrow \{F_1,F_2, \dots,F_{|P|}\}$ 使得对于任意 $p,p'\in P$，关系 $p<_P p'$ 蕴含 $i(p)\subsetneq i(p')$。如果集族 $\mathcal{F}$ 不包含 $P$ 的任何副本，则称其为 \textit{$P$-free} 的。集族 $\mathcal{F}$ 在集合 $X$ 上的迹定义为 $\mathcal{F}|_X:=\{F\cap X: F\in \mathcal{F}\}$。我们引入以下概念：如果对于任意 $l$-子集 $L\subseteq [n]$，集族 $\mathcal{F}|_L$ 是 $P$-free 的，则称 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 是 $l$-trace $P$-free 的；如果对所有 $l\le n$ 它都是 $l$-trace $P$-free 的，则称 $\mathcal{F}$ 是 trace $P$-free 的。作为这些问题的首批实例，我们确定了 trace $B$-free 集族的最大规模，其中 $B$ 是定义在四个元素 $a,b,c,d$ 上且满足 $a,b<c,d$ 的蝴蝶偏序集；并确定了 $i=1,2$ 时 $(n-i)$-trace $K_{r,s}$-free 集族最大规模的渐近性。我们还提出了禁用子偏序集问题领域主要猜想的一个推广。