禁止子偏序的彩虹 Turán 问题

一个集合族 $\mathcal{G}$ 是偏序 $(P,\leqslant)$ 的一个子集，如果 $(\mathcal{G},\subseteq)$ 与 $(P,\leqslant)$ 同构。禁止子偏序问题旨确定 $La^*(n,P)$，即大小为 $n$ 的集合族中不包含 $P$ 子集的最大规模。我们研究该问题的彩虹版本：大小为 $La_R^*(n,P)$ 的族 $\mathcal{F}=\cup_{i=1}^mA^i$ 使得所有 $A^i$ 为反链，且不存在来自不同 $A^i$ 的所有集合构成的 $P$ 的子集，等价于 $\mathcal{F}$ 存在proper coloring (集合 $F\subset F'$ 必须获得不同颜色) 且无彩虹子集 $P$。我们通过偏序彩虹强制建立 $La^*$ 与 $La^*_R$ 函数之间的联系，确定所有树偏序的 $La_R^*(n,T)$ 的渐近形式，并获得反链和完全二分偏序的进一步精确或渐近结果。