禁止保持秩的偏序集副本

不含 $P$ 作为子偏序集副本的 $[n]=\{1,2,...,n\}$ 子集族的最大规模 $La(n,P)$ 已被深入研究。设 $P$ 为分级偏序集。如果 $[n]=\{1,2,...,n\}$ 的子集族 $\mathcal{F}$ 包含 $P$ 的一个副本，使得 $P$ 中具有相同秩的元素被映射到 $\mathcal{F}$ 中大小相同的集合，则称该族包含 $P$ 的一个\emph{保持秩}的副本。不含 $P$ 作为子偏序集的保持秩副本的 $[n]=\{1,2,...,n\}$ 子集族的最大规模记为 $La_{rp}(n,P)$。显然，$La(n,P) \le La_{rp}(n,P)$ 成立。在本文中，我们证明了高度为 2 的树偏序集和高度为 3 的单调树偏序集的 $La_{rp}(n,P)$ 的渐近最优上界，加强了 Bukh 在这些情况下的结果。我们还获得了 $La_{rp}(n,\{Y_{h,s},Y_{h,s}'\})$ 和 $La(n,\{Y_{h,s},Y_{h,s}'\})$ 的精确值，其中 $Y_{h,s}$ 表示具有 $h+s$ 个元素 $x_1,\dots,x_h,y_1,\dots,y_s$ 且满足 $x_1<\dots<x_h<y_1,\dots,y_s$ 的偏序集，而 $Y'_{h,s}$ 表示 $Y_{h,s}$ 的对偶偏序集。