关于 N-free 族大小的一点注记

$\mathcal{N}$ 偏序集由四个不同的集合 $W,X,Y,Z$ 组成，满足 $W\subset X$，$Y\subset X$，且 $Y\subset Z$，其中 $W$ 不一定是 $Z$ 的子集。作为 $n$ 维布尔格 $\mathcal{B}_n$ 的子偏序集的族 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{N}$-free 的，如果它不包含 $\mathcal{N}$ 作为子偏序集。设 $\text{La}(n, \mathcal{N})$ 为 $\mathcal{B}_n$ 中最大 $\mathcal{N}$-free 族的大小。Katona 和 Tarj\'{a}n 证明了 $\text{La}(n,\mathcal{N})\geq {n \choose k}+A(n,4,k+1)$，其中 $k=\lfloor n/2\rfloor$，$A(n, 4, k+1)$ 是常重 $k+1$ 的单纠错码的大小。在本注记中，我们证明了对于偶数 $n$ 且 $k=n/2$，$\text{La}(n, \mathcal{N}) \geq {n\choose k}+A(n, 4, k)$，这在二阶项上改进了某些 $n$ 值下 $\text{La}(n, \mathcal{N})$ 的下界，并且根据函数 $A(n,4,\cdot)$ 的行为，对于无穷多个 $n$ 值应当是一个改进。