无菱形族

给定一个有限偏序集$P$，我们考虑$[n]:=\{1,...,n\}$的子集族中不包含子偏序集$P$的最大大小$La(n,P)$。这个问题近年来被深入研究，并且猜想对于一般偏序集$P$，$\pi(P):= \lim_{n\rightarrow\infty} La(n,P)/{n \choose n/2}$存在，而且是一个整数。对于$k\ge2$，令$\D_k$表示$k$-菱形偏序集$\{A< B_1,...,B_k < C\}$。我们研究随机全链与无$P$族相交的平均次数，称为Lubell函数，并将其用于$P=\D_k$以确定无穷多个$k$值的$\pi(\D_k)$。一个顽固的开放问题是证明$\pi(\D_2)=2$；这里我们通过证明$\pi(\D_2)\le 2 3/11$（如果存在）取得了进展。