无偏序集族与 Lubell 有界性

给定一个有限偏序集 $P$，我们考虑不包含子偏序集 $P$ 的 $[n]:=\{1,...,n\}$ 子集族 $\F$ 的最大大小 $\lanp$。这延续了对 $\lanp$ 渐近增长的研究；据猜想，对于所有 $P$，$\pi(P):= \lim_{n\rightarrow\infty} \lanp/\nchn$ 存在且等于某个整数 $e(P)$。虽然已知这对于路径以及几类更一般的偏序集族成立，但对于简单的钻石偏序集 $\D_2$，$\pi$ 的存在性令人沮丧地仍未解决。在此，我们发展理论以证明对于许多新的偏序集 $P$，$\pi(P)$ 存在且等于猜想值 $e(P)$。我们引入了一系列偏序集的性质层级，其中每一个都蕴含 $\pi=e$，有些则蕴含关于 $\lanp$ 更精确的信息。这些性质与子集族 $\F$ 的 Lubell 函数有关，该函数定义为随机全链与 $\F$ 相遇的平均次数。我们展示了一系列具有这些性质的示例和构造。