给定高度的禁止诱导子偏序集

设 $P$ 为一个偏序集。函数 $\mbox{La}^{\#}(n,P)$ 表示不包含 $P$ 的诱导副本的最大族 $\mathcal{F}\subset 2^{[n]}$ 的大小。Methuku 和 P\'alv"olgyi 已证明存在一个常数 $C_{P}$（仅依赖于 $P$）使得 $\mbox{La}^{\#}(n,P)<C_{P}\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$。然而，从他们的证明中得出的常数 $C_{P}$ 的阶通常在 $|P|$ 中是指数级的。在此我们证明，如果偏序集的高度是常数，这一结果可以得到改进。我们证明，对于每个正整数 $h$，存在一个常数 $c_{h}$，使得如果 $P$ 的高度至多为 $h$，则 $$\mbox{La}^{\#}(n,P)\leq |P|^{c_{h}}\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}.$$ 我们的方法也直接表明类似的界在网格中也成立。即，我们证明如果 $\mathcal{F}\subset [k]^{n}$ 使得 $\mathcal{F}$ 不包含 $P$ 的诱导副本且 $n\geq 2|P|$，则 $$|\mathcal{F}|\leq |P|^{c_{h}}w,$$ 其中 $w$ 是 $[k]^{n}$ 的宽度。我们证明的一小部分是将 $2^{[n]}$（或 $[k]^{n}$）划分为某些具有大边长的固定维数网格。我们证明这种特殊的划分可用于推导许多其他极值集合论问题及其在网格中的推广的界，例如避免弱偏序集、布尔代数或两个不同集合及其并集的族的大小。这可能具有独立的意义。