无菱形族Lubell函数的渐近界

对于$[n]:={1,2,...,n}$的子集族，Lubell函数定义为$\hb_n(\F):=\sum_{F\in\F}\binom{n}{|F|}^{-1}$。在\cite{GriLiLu}中，Griggs、Lu和作者猜想：如果一个$[n]$的子集族$\F$不包含四个不同集合$A,B,C,D$构成一个菱形，即$A\subset B\cap C$且$B\cup C\subset D$，那么$\hb_n(\F)\le 2+\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor/(n^2-n)$。此外，上界由三类族达到。在本文中，我们证明该猜想中的上界是渐近正确的。此外，我们给出了与无偏序族Lubell函数最大化问题相关的一些结果。