子集和的渐近均匀分布

设 $G$ 为一个阶为 $n$ 的有限阿贝尔群，对每个 $a\in G$ 和整数 $1\le h\le n$，记 $\mathcal{F}_a(h)$ 为所有元素和为 $a$ 的 $h$ 元子集的集合。Katona 和 Makar-Limanov 提出的问题是：当 $h=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ 时，求族 $\mathcal{F}_a(h)$ 的最小和最大规模（随 $a$ 而变）是否在 $n\rightarrow \infty$ 时趋于相等。我们肯定回答了这个问题，实际上我们还证明了相同的渐近等式对每一个 $4\leq h\leq \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1$ 都成立。