对称群关于其指数的阿贝尔截面

我们证明存在绝对常数 $\alpha>0$，使得对每个 $k \geq 3$，$G:=\mathop{\mathrm{Sym}}(k)$，以及对每个指数至少为 $3$ 的 $H \leqslant G$，有 $|H/[H,H]| \leq |G:H|^{\alpha/ \log \log |G:H|}$。该不等式对对称群是最佳可能的，我们猜想它对每一族任意大的有限群也都是最佳可能的。